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角度积分反推 π̂（主估计器）
—
理论 π = 3.141592653589793238…
π̂ = (1/N)·Σₖ(αₖ+βₖ+γₖ) = 3·∫₀^π θ·ρ(θ)dθ （ρ 为记录角度的经验分布）
π̂MC = 2 / E[sin θcut] （均匀随机测量角，Buffon 型对照）
π̂MC = 2 / E[sin θcut] （均匀随机测量角，Buffon 型对照）
取走三角形 N
0
角度样本 3N
0
锐角三角形
0
P = —
钝角三角形
0
P = —
角度分布直方图（0°–180°，按三角形类型堆叠）
独立蒙特卡洛对照（慢收敛 · 1/√N）
π̂MC = 2/⟨sinθ⟩
—
误差 —
测量角样本 0
直方图数值积分 π̂h（粗）
—
分箱 5°，演示离散化误差
最近取走样本（每行验证 α+β+γ = π）
| # | α | β | γ | 类型 | Σ (rad) |
|---|
原理：欧氏几何中任意三角形内角和恒等于 π。实验室用完全随机的切割反复生成三角形并采样其内角，
以经验分布 ρ(θ) 的积分 3·E[θ] 重现该恒等式——因此主估计器在采样下即确定性地稳定到机器精度（>10 位小数）；
右侧 Buffon 型估计器作为对照，展示普通蒙特卡洛只能以 1/√N 速度缓慢收敛。