拉格朗日点 · 圆形限制性三体问题（CR3BP）交互演示

系统与控制

物理原理（旋转坐标系，归一化 G=M=ω=a=1）

• 有效势：Ω = ½(x²+y²) + (1−μ)/r₁ + μ/r₂（离心势+双星引力势）
• 运动方程：ẍ = 2ẏ + Ω/∂x，ÿ = −2ẋ + ∂Ω/∂y（科里奥利力使轨迹弯曲）
• 唯一守恒量——雅可比常数：C = 2Ω − (ẋ²+ẏ²)。因 v²≥0，2Ω < C 的区域粒子永远无法进入（零速度曲线为边界）
• 五个平衡点 L1–L5：∇Ω=0。L1–L3 为鞍点（不稳定）；L4/L5 虽是极大值点，但当 μ < 0.03852（Routh 判据，1875）时科里奥利力使其稳定

真实世界的拉格朗日点（非虚构）

点	真实驻留者
日-地 L1	SOHO、ACE、DSCOVR、WIND 太阳观测器
日-地 L2	JWST、Gaia、Planck、WMAP、Herschel
地-月 L2	中国"鹊桥"中继星（嫦娥四号，2018）；ARTEMIS 探测器曾驻留地-月 L1/L2
日-木 L4/L5	木星特洛伊小行星群（已确认上万颗）
日-地 L4/L5	地球特洛伊 2010 TK7、2020 XL5；地-月 L4/L5 的 Kordylewski 尘埃云
L3	不稳定且被太阳遮挡，无已知驻留天体（科幻"反地球"不存在）

诚实声明

演示为理想化 CR3BP：忽略其他天体摄动、太阳光压、轨道偏心率。真实任务（如 JWST 的 Lissajous/halo 轨道）需在此模型上叠加摄动与轨道维持。画面中双星在旋转系中固定，这是坐标系选择而非物理近似。